Como obter informações gráficas de um Movimento Retilíneo Uniforme

Gráfico velocidade x tempo - áreaÉ necessário que o aluno da 1ª série do nível médio estude e aprenda sobre alguns tipos de movimentos e seus gráficos. O Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) é um bom começo para o estudo de gráficos, pois o mesmo é regido por uma simples função de 1º grau que pode ser crescente ou decrescente. Isso implica que pode ser gerado um gráfico, também, crescente ou decrescente. Nesta aula estudaremos o gráfico de uma função decrescente que corresponderá a um Movimento Retilíneo Uniforme MRU retrógrado. Tentaremos obter desse gráfico o maior número de informações possíveis do movimento. Bons estudos!

O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade escalar for constante e não nula. Isso nos leva a refletir que ao iniciarmos o estudo de um MRU, o móvel já possuirá uma velocidade constante e diferente de zero. Lembre-se, nesse movimento a velocidade do móvel não pode ser nula em nenhum instante.

ELEMENTOS DO MRU

Como revisão, descreveremos os elementos que podem estar presentes nos gráficos de um MRU:

MarcadorOs valores dos espaços (S) do gráfico ficam representados no eixo das ordenadas (y) e os valores dos tempos (t) no eixo das abscissas (x).
MarcadorA origem dos espaços é o ponto 0 fixado arbitrariamente em relação ao qual são medidos os espaços. Observe a origem do gráfico no exemplo abaixo.
MarcadorA origem dos tempos é o instante em que começa a ser contado o tempo (t = 0) podendo ser fixado em qualquer posição do móvel.
MarcadorO tempo inicial é abreviado por to ou ti e o tempo final pode ser abreviado por tF ou somente por t.
MarcadorO espaço inicial abreviado por So ou Si é a posição do móvel no instante inicial (to) ou é a distância do móvel à origem dos espaços no início da contagem dos tempos.
MarcadorO espaço final, abreviado por SF ou somente por S, é a posição do móvel no tempo final t. Graficamente, é o ponto em que a reta “corta” o eixo dos espaços.
MarcadorA variação do espaço percorrido pelo móvel é representado por \Delta S. O intervalo de tempo gasto pelo móvel para percorrer o espaço de So até S é chamado de variação do tempo e representado por \Delta t.
MarcadorNão devemos confundir as palavras velocidade e rapidez. A velocidade ou velocidade vetorial possui um sentido, uma direção e uma intensidade (módulo ou valor numérico mais a unidade de medida); a rapidez, conhecida como velocidade escalar ou velocidade escalar instantânea, possui apenas intensidade. Nesse estudo usaremos a velocidade escalar.
MarcadorNo Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais, pois a velocidade escalar (v) do móvel é constante. O movimento retrógrado ou regressivo é uma das classificações do MRU e ocorre quando a velocidade do móvel é negativa ou quando o móvel se desloca em sentido contrário ao deslocamento adotado com positivo. Se a velocidade do móvel for positiva (v>0) o móvel terá um movimento progressivo.
MarcadorA equação S = f(t) pode ser lida assim: “O espaço (S) é igual a uma função do tempo ou está em função do tempo” ou “S é igual a efe de t” ou “a posição S ocupada por um móvel está em função do tempo.”

GRÁFICO ESPAÇO X TEMPO

DESAFIO DA AULA
Conforme o gráfico abaixo, a posição de um móvel varia no decorrer do tempo. Obtenha o maior número possível de informações sobre o movimento do corpo.

Gráfico MRU - Espaço x Tempo

A VELOCIDADE NO MRU

Definição de Velocidade

A velocidade escalar do móvel no Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) é constante, portanto, as velocidades médias e instantâneas do móvel são iguais. Do ensino fundamental sabemos que a velocidade escalar equivale ao espaço percorrido por um móvel sobre o tempo gasto em percorrê-lo. Portanto, a definição de velocidade (v) escalar é a seguinte:

v =\displaystyle\dfrac{\Delta S }{\Delta t }=\dfrac{S_{F}-S_{0}}{t-t_{0}}.\qquad (1)

O ESPAÇO INICIAL

Observe o gráfico: o ponto em que a reta decrescente “toca” o eixo dos espaços representa o espaço inicial (S0 = 30 m), que é o espaço do móvel quando t0 = 0.

O ESPAÇO FINAL

Para o tempo final, tF = 10 s, o espaço final correspondente no gráfico equivale a SF = -20 m.

INTENSIDADE DA VELOCIDADE ESCALAR

Substituindo os valores obtidos do gráfico na equação (1), obteremos

v =\displaystyle \dfrac{-20-30}{10-0}= \dfrac{-50}{10}= 5\:m/s.

A CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO

No gráfico, a velocidade negativa (v < 0) nos informa que o móvel se desloca em sentido contrário à orientação positiva da trajetória, ou seja, é um movimento retrógrado.

O MOVIMENTO EM UMA TRAJETÓRIA

Não confunda os gráficos S x t e v x t com a trajetória do móvel. Os gráficos nos dão apenas informações sobre o movimento do móvel. A figura a seguir está representado o movimento do móvel em uma trajetória que está orientada para a direita (sentido positivo). Observe que o móvel está indo para a esquerda, no sentido contrário ao da trajetória. Quando um móvel se desloca em sentido contrário ao de orientação positiva da trajetória, sua velocidade será negativa e o MRU será classificado como retrógrado. Note que as posições do móvel decrescem no decorrer do tempo e que o eixo do espaço serviu como uma estrada retilínea.

Trajetória do Móvel - MRU Retrógrado

A FUNÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO

Da definição de velocidade, (Equação 1), considerando-se o tempo inicial igual a zero, podemos deduzir a equação horária do MRU:

v =\displaystyle \dfrac{S_{F}-S_{0}}{t}\rightarrow S - S_{0}=v.t\rightarrow S= S_{0}+v.t. \qquad (2)

Substituindo o valor do espaço inicial e da velocidade escalar na Equação 2, obteremos a função ou equação horária do movimento:

\displaystyle S=30-5t.

A equação acima é de 1º grau e toda equação desse tipo pode ser escrito na forma:

\displaystyle y = ax^{1} + b=ax + b.

IMPORTANTE: na equação acima, a constante a, diferente de zero, representa o coeficiente angular; b é o coeficiente linear; x é a variável independente e y é a variável dependente. Para o caso da equação do gráfico, o y corresponde ao S, o b corresponde ao espaço inicial 30 m (onde toca o gráfico), o a corresponde à velocidade de -5 m/s e a variável x corresponde ao t (tempo).

No link a seguir, em pdf, você pode fazer um Estudo básico sobre gráfico de uma equação 1º Grau.

QUANDO O MÓVEL PASSA PELA ORIGEM?

Segundo o gráfico, a origem do espaço equivale a zero, portanto, fazendo essa substituição na Equação 2, obteremos o instante em que o móvel passa na origem:

\displaystyle 0=30-5t \rightarrow-30=-5t \rightarrow t=\dfrac{-30}{-5} \rightarrow t=\dfrac{30}{5}= 6 \:s.

CONSTRUÇÃO DA TABELA DE VALORES

Para construir a tabela que apresenta as posições ocupadas por móvel em função do tempo, S = f(t), substitui-se os principais valores do tempo (t = o, t = 6 s e t = 10 s) na função horária do movimento (Equação 2), com o objetivo de achar os valores dos espaços.

Gráfico MRU - Espaço x Tempo

Para t = 0, obteremos

\begin{array}{l}  \displaystyle S=S_{0}+v.t\\  S= 30-5.t\\  S= 30-5.0\\  S= 30-0\\  S= 30 \:m.  \end{array}

Para t = 6, obteremos

\begin{array}{l}  \displaystyle S= 30-5.6\\  S= 30-30\\  S= 0 \:m.  \end{array}

Para t = 10, obteremos

\begin{array}{l}  \displaystyle S= 30-5.10\\  S= 30-50\\  S= -20 \:m.  \end{array}

De posse dos valores dos espaços e dos tempos podemos construir a tabela:

\displaystyle \begin{tabular}{|l|l|ll}  \cline{1-2}  \multicolumn{2}{|c|}{MRU} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{S(m)} & \multicolumn{1}{c|}{t(s)} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{30} & \multicolumn{1}{c|}{0} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{6} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{-20} & \multicolumn{1}{c|}{10} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{l}{} & & \\  \end{tabular}

O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA

O coeficiente angular ou a inclinação que a reta faz com o eixo dos tempos é igual a tangente (tg) do ângulo de inclinação (α) que, numericamente, é igual à velocidade do móvel. Se a declividade (α) fosse um ângulo agudo, teríamos um função crescente (v > 0). No caso, observe que o α é obtuso temos, portanto, uma função decrescente e a v < 0.

Gráfico MRU - Espaço x Tempo

Da matemática sabemos que a tangente do ângulo β é igual a tg do ângulo α. Comprove isso na calculadora: por exemplo, tire a tangente (tg β) de 120º (que resulta em ≅ -1,73). A seguir, tire a tangente (tg α) de 60º (que é 180º – 120º) que também resulta em ≅ 1,73. Agora, basta colocar o sinal de menos na frente de 60º: ≅ -1,73. No gráfico acima obteremos, portanto, um valor negativo para a tangente fazendo as operações devidas e colocando o sinal de menos no \begin{array}{l} \displaystyle {\Delta S/\Delta t}.\end{array}

Cálculo da velocidade do móvel em 6 segundos

Já estudamos no fundamental que a função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente. Observe o cálculo do coeficiente angular (tg θ):

\begin{array}{l} tg \alpha = \displaystyle \dfrac{sen\alpha }{cos\alpha } = \dfrac{\dfrac{cat.oposto}{hipotenusa}}{\dfrac {cat.adjacente}{hipotenusa}} = \dfrac{cat.oposto}{cat.adjacente}= \dfrac{\Delta S}{\Delta t}.\end{array}

Portanto, usaremos o triângulo menor do gráfico para calcular a tangente do ângulo α:

\begin{array}{l} tg \alpha = \displaystyle \dfrac{0-30}{6-0} = \dfrac{-30}{6}=-5.\end{array}

Sendo a tangente do ângulo numericamente igual à velocidade escalar do móvel, em 6 segundos a velocidade do móvel será v = -5 m/s.

Cálculo da velocidade do móvel em 10 segundos

Devido a velocidade de um móvel no MRU ser constante, obteremos a mesmo velocidade em 10 segundos. Usaremos o triângulo maior do gráfico para calcular a tangente do ângulo α, observe:

 

\begin{array}{l} tg \alpha = \displaystyle \dfrac{-20-30}{10-0} = \dfrac{-50}{10}=-5.\end{array}

 

Sendo a tangente do ângulo numericamente igual à velocidade escalar do móvel, em 10 segundos a velocidade do móvel também será v = -5 m/s.

QUAL A POSIÇÃO DO MÓVEL EM 30 s?

Substituindo t = 30 s na Equação 2, obteremos a nova posição do móvel:

\displaystyle S=30-5t \rightarrow S=30-5.30=30-150 = -120 \:m.

QUANDO A POSIÇÃO DO MÓVEL É 10m?

Substituindo S = 10 m na Equação 2, obteremos o instante em que o móvel passa nessa posição:

\displaystyle 10=30-5t \rightarrow 10-30=-5t \rightarrow -20=-5t \rightarrow t=\dfrac{-20}{-5} \rightarrow t= 4 \:s.

O GRÁFICO VELOCIDADE X TEMPO

No MRU o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo dos tempos, pois o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais, ou seja, a velocidade (v) escalar do móvel é constante. Devido a velocidade ser negativa, a reta paralela fica abaixo do eixo dos tempos. Se a velocidade fosse positiva, teríamos uma reta paralela acima do eixo dos tempos.

Gráfico Velocidade x Tempo

O DESLOCAMENTO E O GRÁFICO V X t

A área retangular, limitada pelo gráfico e o eixo do tempo no intervalo considerado (de 0 a 10 segundos), é numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel, ou seja,

A \overset{N}{=} \Delta S.

Gráfico Velocidade x tempo - Variação do Espaço

Cálculo do deslocamento do móvel em 10 segundos

Sendo a área do retângulo igual a base (variação do tempo) vezes a altura (velocidade negativa), obteremos a seguinte área

A =10.(-5)=-50.

Sabemos que, geometricamente, não existe área negativa. Qual é o significado físico para essa área negativa? Ela significa apenas a distância que o móvel se deslocou no sentido negativo no eixo dos espaços, portanto,

A \overset{N}{=} \Delta S=-50m.

Cálculo do deslocamento do móvel em 6 segundos

Calcularemos a área, do gráfico abaixo em um intervalo de tempo de 0 a 6 segundos e com a mesma velocidade.
Gráfico Velocidade X Tempo - Cálculo da Variação do Espaço

Conforme o gráfico, a área é equivalente a

A =6.(-5)=-30.

Isso significa que o móvel se deslocou, nesse intervalo de tempo, no sentido negativo do eixo dos espaços, ou seja,

\Delta S=-30m.

Portanto,

A \overset{N}{=} \Delta S=-50m.

Comparação entre os gráficos da velocidade e do espaço

Fazendo a comparação com o gráfico abaixo, observe que em 6 segundos o móvel percorreu -30m (Espaço final – Espaço inicial = 0 – 30 = -30m). Em 10 segundos o móvel percorreu -50m (Espaço final – Espaço inicial = -20 – 30 = -50m).

Gráfico MRU - Espaço x TempoAgora faça a sua parte: releia novamente a postagem, refaça os cálculos no seu caderno, pesquise sobre os termos em destaque na aula, releia as aulas que estão em pdf sobre equações de 1º grau e seus gráficos. Assim você terá um ótimo aprendizado na 1ª série do nível médio. Se esse estudo o ajudou, comente e nos ajude a propagar os conhecimentos sobre o “Saber Exatas”. Para receber as próximas aulas, basta cadastrar seu melhor e-mail. Espero ter ajudado. Bons estudos!
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