Como obter informações gráficas de um Movimento Retilíneo Uniforme

Gráfico velocidade x tempo - áreaÉ necessário que o aluno da 1ª série do nível médio estude e aprenda sobre alguns tipos de movimentos e seus gráficos. O Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) é um bom começo para o estudo de gráficos, pois o mesmo é regido por uma simples função de 1º grau que pode ser crescente ou decrescente. Isso implica que pode ser gerado um gráfico, também, crescente ou decrescente. Nesta aula estudaremos o gráfico de uma função decrescente que corresponderá a um Movimento Retilíneo Uniforme MRU retrógrado. Tentaremos obter desse gráfico o maior número de informações possíveis do movimento. Bons estudos!

O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade escalar for constante e não nula. Isso nos leva a refletir que ao iniciarmos o estudo de um MRU, o móvel já possuirá uma velocidade constante e diferente de zero. Lembre-se, nesse movimento a velocidade do móvel não pode ser nula em nenhum instante.

ELEMENTOS DO MRU

Como revisão, descreveremos os elementos que podem estar presentes nos gráficos de um MRU:

MarcadorOs valores dos espaços (S) do gráfico ficam representados no eixo das ordenadas (y) e os valores dos tempos (t) no eixo das abscissas (x).
MarcadorA origem dos espaços é o ponto 0 fixado arbitrariamente em relação ao qual são medidos os espaços. Observe a origem do gráfico no exemplo abaixo.
MarcadorA origem dos tempos é o instante em que começa a ser contado o tempo (t = 0) podendo ser fixado em qualquer posição do móvel.
MarcadorO tempo inicial é abreviado por to ou ti e o tempo final pode ser abreviado por tF ou somente por t.
MarcadorO espaço inicial abreviado por So ou Si é a posição do móvel no instante inicial (to) ou é a distância do móvel à origem dos espaços no início da contagem dos tempos.
MarcadorO espaço final, abreviado por SF ou somente por S, é a posição do móvel no tempo final t. Graficamente, é o ponto em que a reta “corta” o eixo dos espaços.
MarcadorA variação do espaço percorrido pelo móvel é representado por \Delta S. O intervalo de tempo gasto pelo móvel para percorrer o espaço de So até S é chamado de variação do tempo e representado por \Delta t.
MarcadorNão devemos confundir as palavras velocidade e rapidez. A velocidade ou velocidade vetorial possui um sentido, uma direção e uma intensidade (módulo ou valor numérico mais a unidade de medida); a rapidez, conhecida como velocidade escalar ou velocidade escalar instantânea, possui apenas intensidade. Nesse estudo usaremos a velocidade escalar.
MarcadorNo Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais, pois a velocidade escalar (v) do móvel é constante. O movimento retrógrado ou regressivo é uma das classificações do MRU e ocorre quando a velocidade do móvel é negativa ou quando o móvel se desloca em sentido contrário ao deslocamento adotado com positivo. Se a velocidade do móvel for positiva (v>0) o móvel terá um movimento progressivo.
MarcadorA equação S = f(t) pode ser lida assim: “O espaço (S) é igual a uma função do tempo ou está em função do tempo” ou “S é igual a efe de t” ou “a posição S ocupada por um móvel está em função do tempo.”

GRÁFICO ESPAÇO X TEMPO

DESAFIO DA AULA
Conforme o gráfico abaixo, a posição de um móvel varia no decorrer do tempo. Obtenha o maior número possível de informações sobre o movimento do corpo.

Gráfico MRU - Espaço x Tempo

A VELOCIDADE NO MRU

Definição de Velocidade

A velocidade escalar do móvel no Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) é constante, portanto, as velocidades médias e instantâneas do móvel são iguais. Do ensino fundamental sabemos que a velocidade escalar equivale ao espaço percorrido por um móvel sobre o tempo gasto em percorrê-lo. Portanto, a definição de velocidade (v) escalar é a seguinte:

v =\displaystyle\dfrac{\Delta S }{\Delta t }=\dfrac{S_{F}-S_{0}}{t-t_{0}}.\qquad (1)

O ESPAÇO INICIAL

Observe o gráfico: o ponto em que a reta decrescente “toca” o eixo dos espaços representa o espaço inicial (S0 = 30 m), que é o espaço do móvel quando t0 = 0.

O ESPAÇO FINAL

Para o tempo final, tF = 10 s, o espaço final correspondente no gráfico equivale a SF = -20 m.

INTENSIDADE DA VELOCIDADE ESCALAR

Substituindo os valores obtidos do gráfico na equação (1), obteremos

v =\displaystyle \dfrac{-20-30}{10-0}= \dfrac{-50}{10}= 5\:m/s.

A CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO

No gráfico, a velocidade negativa (v < 0) nos informa que o móvel se desloca em sentido contrário à orientação positiva da trajetória, ou seja, é um movimento retrógrado.

O MOVIMENTO EM UMA TRAJETÓRIA

Não confunda os gráficos S x t e v x t com a trajetória do móvel. Os gráficos nos dão apenas informações sobre o movimento do móvel. A figura a seguir está representado o movimento do móvel em uma trajetória que está orientada para a direita (sentido positivo). Observe que o móvel está indo para a esquerda, no sentido contrário ao da trajetória. Quando um móvel se desloca em sentido contrário ao de orientação positiva da trajetória, sua velocidade será negativa e o MRU será classificado como retrógrado. Note que as posições do móvel decrescem no decorrer do tempo e que o eixo do espaço serviu como uma estrada retilínea.

Trajetória do Móvel - MRU Retrógrado

A FUNÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO

Da definição de velocidade, (Equação 1), considerando-se o tempo inicial igual a zero, podemos deduzir a equação horária do MRU:

v =\displaystyle \dfrac{S_{F}-S_{0}}{t}\rightarrow S - S_{0}=v.t\rightarrow S= S_{0}+v.t. \qquad (2)

Substituindo o valor do espaço inicial e da velocidade escalar na Equação 2, obteremos a função ou equação horária do movimento:

\displaystyle S=30-5t.

A equação acima é de 1º grau e toda equação desse tipo pode ser escrito na forma:

\displaystyle y = ax^{1} + b=ax + b.

IMPORTANTE: na equação acima, a constante a, diferente de zero, representa o coeficiente angular; b é o coeficiente linear; x é a variável independente e y é a variável dependente. Para o caso da equação do gráfico, o y corresponde ao S, o b corresponde ao espaço inicial 30 m (onde toca o gráfico), o a corresponde à velocidade de -5 m/s e a variável x corresponde ao t (tempo).

No link a seguir, em pdf, você pode fazer um Estudo básico sobre gráfico de uma equação 1º Grau.

QUANDO O MÓVEL PASSA PELA ORIGEM?

Segundo o gráfico, a origem do espaço equivale a zero, portanto, fazendo essa substituição na Equação 2, obteremos o instante em que o móvel passa na origem:

\displaystyle 0=30-5t \rightarrow-30=-5t \rightarrow t=\dfrac{-30}{-5} \rightarrow t=\dfrac{30}{5}= 6 \:s.

CONSTRUÇÃO DA TABELA DE VALORES

Para construir a tabela que apresenta as posições ocupadas por móvel em função do tempo, S = f(t), substitui-se os principais valores do tempo (t = o, t = 6 s e t = 10 s) na função horária do movimento (Equação 2), com o objetivo de achar os valores dos espaços.

Gráfico MRU - Espaço x Tempo

Para t = 0, obteremos

\begin{array}{l}  \displaystyle S=S_{0}+v.t\\  S= 30-5.t\\  S= 30-5.0\\  S= 30-0\\  S= 30 \:m.  \end{array}

Para t = 6, obteremos

\begin{array}{l}  \displaystyle S= 30-5.6\\  S= 30-30\\  S= 0 \:m.  \end{array}

Para t = 10, obteremos

\begin{array}{l}  \displaystyle S= 30-5.10\\  S= 30-50\\  S= -20 \:m.  \end{array}

De posse dos valores dos espaços e dos tempos podemos construir a tabela:

\displaystyle \begin{tabular}{|l|l|ll}  \cline{1-2}  \multicolumn{2}{|c|}{MRU} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{S(m)} & \multicolumn{1}{c|}{t(s)} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{30} & \multicolumn{1}{c|}{0} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{6} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{|c|}{-20} & \multicolumn{1}{c|}{10} & & \\  \cline{1-2}  \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{l}{} & & \\  \end{tabular}

O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA

O coeficiente angular ou a inclinação que a reta faz com o eixo dos tempos é igual a tangente (tg) do ângulo de inclinação (α) que, numericamente, é igual à velocidade do móvel. Se a declividade (α) fosse um ângulo agudo, teríamos um função crescente (v > 0). No caso, observe que o α é obtuso temos, portanto, uma função decrescente e a v < 0.

Gráfico MRU - Espaço x Tempo

Da matemática sabemos que a tangente do ângulo β é igual a tg do ângulo α. Comprove isso na calculadora: por exemplo, tire a tangente (tg β) de 120º (que resulta em ≅ -1,73). A seguir, tire a tangente (tg α) de 60º (que é 180º – 120º) que também resulta em ≅ 1,73. Agora, basta colocar o sinal de menos na frente de 60º: ≅ -1,73. No gráfico acima obteremos, portanto, um valor negativo para a tangente fazendo as operações devidas e colocando o sinal de menos no \begin{array}{l} \displaystyle {\Delta S/\Delta t}.\end{array}

Cálculo da velocidade do móvel em 6 segundos

Já estudamos no fundamental que a função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente. Observe o cálculo do coeficiente angular (tg θ):

\begin{array}{l} tg \alpha = \displaystyle \dfrac{sen\alpha }{cos\alpha } = \dfrac{\dfrac{cat.oposto}{hipotenusa}}{\dfrac {cat.adjacente}{hipotenusa}} = \dfrac{cat.oposto}{cat.adjacente}= \dfrac{\Delta S}{\Delta t}.\end{array}

Portanto, usaremos o triângulo menor do gráfico para calcular a tangente do ângulo α:

\begin{array}{l} tg \alpha = \displaystyle \dfrac{0-30}{6-0} = \dfrac{-30}{6}=-5.\end{array}

Sendo a tangente do ângulo numericamente igual à velocidade escalar do móvel, em 6 segundos a velocidade do móvel será v = -5 m/s.

Cálculo da velocidade do móvel em 10 segundos

Devido a velocidade de um móvel no MRU ser constante, obteremos a mesmo velocidade em 10 segundos. Usaremos o triângulo maior do gráfico para calcular a tangente do ângulo α, observe:

 

\begin{array}{l} tg \alpha = \displaystyle \dfrac{-20-30}{10-0} = \dfrac{-50}{10}=-5.\end{array}

 

Sendo a tangente do ângulo numericamente igual à velocidade escalar do móvel, em 10 segundos a velocidade do móvel também será v = -5 m/s.

QUAL A POSIÇÃO DO MÓVEL EM 30 s?

Substituindo t = 30 s na Equação 2, obteremos a nova posição do móvel:

\displaystyle S=30-5t \rightarrow S=30-5.30=30-150 = -120 \:m.

QUANDO A POSIÇÃO DO MÓVEL É 10m?

Substituindo S = 10 m na Equação 2, obteremos o instante em que o móvel passa nessa posição:

\displaystyle 10=30-5t \rightarrow 10-30=-5t \rightarrow -20=-5t \rightarrow t=\dfrac{-20}{-5} \rightarrow t= 4 \:s.

O GRÁFICO VELOCIDADE X TEMPO

No MRU o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo dos tempos, pois o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais, ou seja, a velocidade (v) escalar do móvel é constante. Devido a velocidade ser negativa, a reta paralela fica abaixo do eixo dos tempos. Se a velocidade fosse positiva, teríamos uma reta paralela acima do eixo dos tempos.

Gráfico Velocidade x Tempo

O DESLOCAMENTO E O GRÁFICO V X t

A área retangular, limitada pelo gráfico e o eixo do tempo no intervalo considerado (de 0 a 10 segundos), é numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel, ou seja,

A \overset{N}{=} \Delta S.

Gráfico Velocidade x tempo - Variação do Espaço

Cálculo do deslocamento do móvel em 10 segundos

Sendo a área do retângulo igual a base (variação do tempo) vezes a altura (velocidade negativa), obteremos a seguinte área

A =10.(-5)=-50.

Sabemos que, geometricamente, não existe área negativa. Qual é o significado físico para essa área negativa? Ela significa apenas a distância que o móvel se deslocou no sentido negativo no eixo dos espaços, portanto,

A \overset{N}{=} \Delta S=-50m.

Cálculo do deslocamento do móvel em 6 segundos

Calcularemos a área, do gráfico abaixo em um intervalo de tempo de 0 a 6 segundos e com a mesma velocidade.
Gráfico Velocidade X Tempo - Cálculo da Variação do Espaço

Conforme o gráfico, a área é equivalente a

A =6.(-5)=-30.

Isso significa que o móvel se deslocou, nesse intervalo de tempo, no sentido negativo do eixo dos espaços, ou seja,

\Delta S=-30m.

Portanto,

A \overset{N}{=} \Delta S=-50m.

Comparação entre os gráficos da velocidade e do espaço

Fazendo a comparação com o gráfico abaixo, observe que em 6 segundos o móvel percorreu -30m (Espaço final – Espaço inicial = 0 – 30 = -30m). Em 10 segundos o móvel percorreu -50m (Espaço final – Espaço inicial = -20 – 30 = -50m).

Gráfico MRU - Espaço x TempoAgora faça a sua parte: releia novamente a postagem, refaça os cálculos no seu caderno, pesquise sobre os termos em destaque na aula, releia as aulas que estão em pdf sobre equações de 1º grau e seus gráficos. Assim você terá um ótimo aprendizado na 1ª série do nível médio. Se esse estudo o ajudou, comente e nos ajude a propagar os conhecimentos sobre o “Saber Exatas”. Para receber as próximas aulas, basta cadastrar seu melhor e-mail. Espero ter ajudado. Bons estudos!

Um comentário sobre “Como obter informações gráficas de um Movimento Retilíneo Uniforme

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair /  Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair /  Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair /  Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair /  Alterar )

Conectando a %s