Entenda como fazer a notação de Leibniz para derivadas

Gottfried LeibnitzNa Física, na Matemática e nas Engenharias a notação de Leibniz, para derivadas, é muito utilizada. O nome da notação é em homenagem ao matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e o esforço em aprendê-la poderá ser muito gratificante para o estudante. Leibniz foi um autodidata que viveu no século XVII, adquiriu grandes conhecimentos na área de Filosofia, Direito, Teologia e Matemática. Ele percebeu como era importante as notações no auxílio dos cálculo.

Neste trabalho não resolveremos as derivadas, apenas as indicaremos por meio da notação de Leibniz, porém, se você já possui conhecimentos sobre notações de derivadas e quiser aprender do início ou revisar, passo-a-passo, regras básicas sobre derivadas basta acessar os seguintes tópicos:

6 exercícios resolvidos sobre a regra da potência para derivadas

Aprenda a derivar facilmente uma função

ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

O matemático Gottfried Wilhelm Leibniz criou algumas notações que são utilizadas até hoje nos cálculos das ciências exatas, tais como o ponto de multiplicação, a notação para diferenciais em x e y, a notação para a integral de ydx, a notação “é semelhante a” e a notação é “congruente a“. Veja-as,  respectivamente:

(.)
dx
dy
\int ydx
\sim
\simeq

A NOTAÇÃO DE LEIBNIZ

Considerado como um dos últimos sábios, Leibniz foi o primeiro a empregar as expressões “função“, “cálculo diferencial” e “cálculo integral“.

A notação de Leibniz é bem simples, basta aplicar (“unir”) o símbolo \frac{d}{dx} na função. Chamaremos esse símbolo de operador diferencial, o qual é uma instrução para diferenciar funções. Faremos o procedimento de aplicar o operador na função mais adiante.

COMO USAR A NOTAÇÃO

Consideremos uma função dada por f(x)=x^{2}. Leia: função f de x é igual a x^{2}. Queremos apenas indicar ou representar a notação, sem diferenciar, da derivada dessa função. Para isso, basta aplicar o operador diferencial na função f(x) e a mesma já ficará representada na notação de Leibniz:

\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(x^{2})}{dx}.

Observe que apenas “unimos” o símbolo \frac{d}{dx} com a função.

COMO FAZER A LEITURA DA NOTAÇÃO

A notação do exemplo anterior pode ser lida assim:

“a derivada da função f(x) em relação a x é igual a derivada da função x^{2} em relação a x. Observe que não resolvemos a derivada, apenas aplicamos o operador diferencial de Leibniz na função f(x)=x^{2}.

OUTRA MANEIRA DE INDICAR A FUNÇÃO

Podemos, também, representar a função anterior chamando-a de y :

f(x)=y.

Aplicando-se o operador diferencial na mesma função, agora apelidada de y, estaremos indicando a derivada na notação de Leibnitz, observe:

\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{2})}{dx}.

“a derivada da função y em relação a x é igual a derivada da função x^{2} em relação a x.”

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Represente as seguintes funções na notação de Leibniz:

  • 1º) f(x)=5x^{2}.

Aplicando-se o operador diferencial na função f(x), a mesma fica indicada da seguinte maneira:

\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(5x^{2})}{dx}.

Note que na expressão apenas foi feita a substituição de f(x) por (5x^{2}).

Podemos, também, fazer f(x) igual a y e a função dada torna-se igual a

f(x)=y=5x^{2}.

Aplicando-se o operador diferencial na mesma função, agora chamada de y, temos a seguinte visualização da notação de Leibniz:

\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(5x^{2})}{dx}.

A notação pode ser lida assim: “derivada da função 5x^{2} em relação a x.”

Note que é bem simples a notação, basta “unir” o símbolo \frac{d}{dx} na função.


  • 2º) f(x)=-3x^{8}.

Aplicando-se o operador diferencial na função f(x), obteremos

\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(-3x^{8})}{dx}.

Podemos fazer o procedimento de outra maneira, basta igualar f(x) a y,

f(x)=y=-3x^{8}

e aplicar o operador diferencial na função y. Observe:

\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(-3x^{8})}{dx}.

A notação pode ser lida assim: “derivada da função -3x^{8} com respeito ou em relação a x.”


  • 3º) f(x)={\sqrt{x}}.

A função dada pode ser escrita assim:

f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

Aplicando-se o operador diferencial na função f(x), obteremos

\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(x^\frac{1}{2})}{dx},

ou podemos fazer a indicação de outra maneira, chamando a função f(x) de y:

f(x) = y =x^{\frac{1}{2}}.

Aplicando-se o operador diferencial na função y, obteremos

\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^\frac{1}{2})}{dx},

que pode ser lida assim:

derivada da função \sqrt{x} (ou x^{\frac{1}{2}} ) em relação a x.”


  • 4º)  f(x) = \frac{1}{x}.

A expressão acima pode ser escrita assim:

y=\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{1}}=x^{-1}=x^{-1}.

A seguir, vamos usar a notação de Leibnitz em y, veja:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^{-1})}{dx}

que pode ser lida assim: “derivada da função x^{-1} ou \frac{1}{x} em relação a x.”


  • 5º)  f(x) = x^{5} em x = 1.

Temos que

y=x^{5}.

Usando a notação de Leibnitz em y,

\frac{dy}{dx}\mid_{x=1}=\frac{d(x^{5})}{dx}\mid_{x=1},

que pode ser lida assim: “derivada da função x^{5} em relação a x em x = 1.”


  • 6º) y = f(x) em x={x_{0}}.

Usando a notação de Leibniz em y, temos

\frac{dy}{dx}\mid_{x=x_{0}},

que pode ser lida assim:

derivada da função f(x) em relação a x em x={x_{0}}.”

Se você conseguiu entender esse estudo básico sobre notações de derivadas, certamente poderá entender e usufruir os próximos tópicos.

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s