6 exercícios resolvidos sobre regra da potência para derivadas

Regra da potênciaNeste estudo priorizaremos uma regra bem básica de derivação: a regra da potência. Inicialmente, vamos enfatizar as derivadas de funções cujas potências possuem expoentes inteiros positivos. Como o nosso site é mais voltado para principiantes na área de exatas, os exemplos aqui postados são os mais básicos possíveis. Nossa metodologia de ensino é bem simples e segue a seguinte rotina: ver exemplos de funções, enunciar a regra da derivação, resolver exercícios para fixar o conteúdo e provocar o leitor para solucionar questões bem fáceis. Borrão e lápis nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES

  • f(x) = {x^{11}};
  • f(x) = {x^{3}};
  • f(x) = 2{x^{7}};
  • f(x) = -9{x^{4}};
  • f(x)=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};
  • f(x)=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};
  • f(x)=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.

Se preferirmos, podemos trocar o f(x) das funções acima por y. Observe:

  • y = {x^{11}};
  • y = {x^{3}};
  • y = 2{x^{7}};
  • y = -9x^{4};
  • y=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};
  • y=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};
  • y=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.

Note que, em todos os exemplos dados, as funções possuem expoentes inteiros e positivos. Para derivar funções desse tipo usaremos uma regra bem básica de derivação: a regra da potência.

A REGRA DA POTÊNCIA

“Se f(x) = x^{n}, onde n é um número positivo e x é diferente de zero, então f'(x)=nx^{n-1}.

Nos exercícios propostos nesse estudo explicaremos, na prática, a regra da potência.

NOTAÇÕES DAS DERIVADAS

Nos exemplos desta aula usaremos, para derivar as funções, a notação funcional de Lagrange f'(x) e a notação de Leibniz, a qual usa o seguinte operador diferencial:

\frac{d}{dx}.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Derive as seguintes funções:

  • 1º) f(x)=x^{3}.

Observe que, na função dada, o n equivale ao número positivo 3 e o x da função é diferente de zero.

Por comparação:

f(x)=x^{3}

f'(x)=nx^{n-1}

f'(x)=3x^{3-1}

⇒ Note que a regra define que o expoente n (o número 3) fique na frente do x e, ao mesmo tempo, o mesmo n da função seja subtraído de 1. Matematicamente, dizemos que derivamos a função em relação a x, portanto, na notação de Lagrange temos que

f'(x^{3})=3x^{3-1}=3x^{2}.

⇒ Para calcular essa mesma derivada, usando a notação de Leibniz, basta aplicar o operador diferencial na função f(x) e obteremos o mesmo resultado. Observe:

\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(x^{3})}{dx}=3x^{3-1}=3x^{2}.

Observe que apenas substituímos o f(x) (“f de x“) pela função (x^{3}) no operador diferencial. Note também que, quando aplicamos a regra dada, o d(x) do operador desaparece.

  • 2º) f(x)=x^{10}.

A função acima pode ser escrita como

y=x^{10}.

⇒ Na notação funcional de Lagrange, derivaremos a função com relação a x e aplicaremos a regra da potência:

f'(y)=f'(x^{10})=10x^{10-1}=10x^{9}.

⇒ Na notação de Leibniz, vamos derivar a função com relação a x e obter a mesma resposta:

\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{10})}{dx}=10x^{10-1}=10x^{9}.

  • 3º) Dado a função a=t^{12}, calcule \frac{da}{dt}.

⇒ Derivando a função com relação a t e aplicando a regra da potência, obteremos

f'(a)=f'(t^{12})=12t^{12-1}=12t^{11}.

⇒ Na notação de Leibniz, obteremos

\frac{d(a)}{dt}=\frac{d(t^{12})}{dt}=12t^{12-1}=12t^{11}.

  • 4º) Ache a derivada de f(x)=-\frac{2}{x^{-5}}.

A função possui expoente negativo e pode ser escrita da seguinte maneira:

y=-\frac{2}{x^{-5}}=-2\frac{1}{x^{-5}}=-2x^{5}.

⇒ Derivando-a com respeito a x, aplicando a regra da potência, temos que:

f'(y)=f'(-2x^{5})=-5.2x^{5-1}=-10x^{4}.

⇒ Na notação de Leibniz, obteremos o mesmo resultado:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(-2x^{5})}{dx}=-2\frac{d(x^{5})}{dx}

=-2.5x^{5-1}=-10x^{4}.

Nesta questão aplicamos também, sutilmente, uma outra regra que já foi estudada na postagem intitulada A regra da homogeneidade.

  • 5º) Ache a derivada de f(x)= \frac{11}{x^{-10}}.

A função acima pode ser escrita como:

y =\frac{11}{x^{-10}}=11\frac{1}{x^{-10}}=11x^{10}.

⇒ Derivando-a em relação a  x, aplicando a regra da potência, obteremos

f'(y)=f'(11x^{10})=10.11x^{10-1}=110x^{9}.

⇒ Na notação de Leibniz, obteremos o mesmo resultado:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(11x^{10})}{dx}

=11\frac{d(x^{10})}{dx}=11.10x^{10-1}=110x^{9}.

  • 6º) Ache a derivada de f(x)=41x^{2}.

Já vimos que a função acima pode ser escrita da seguinte maneira:

y=41x^{2}.

⇒ Derivando-a em relação a x, aplicando a regra da potência, temos que:

f'(y)=f'({41x^{2}})=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.

⇒ Aplicando-se o operador diferencial na mesma função, obteremos

\frac{dy}{dx}=\frac{d(41x^{2})}{dx}

=41\frac{d(x^{2})}{dx}=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.

Portanto,

f'(x) = \frac{dy}{dx}=82x.

SEUS DESAFIOS

Calcule em seu caderno as seguintes derivadas:

1º) f(x)=x^{12};

2º) f(x)=x^{21};

3º) f(x)=-\frac{3}{x^{-9}};

4º) y=\frac{20}{x^{-20}};

5º) y=11x^{8}.

PROGRAMA – CALCULAR DERIVADAS

Após calcular as derivadas acima, execute-as no programa abaixo e compare as respostas.

Veja as maneiras de como digitar no programa algumas funções:

  • f(x) = x^12
  • y = x^15
  • f(x) = -3/{x^9}
  • y = 20/{x^20}

Após digitar a derivada no programa clique em Submit e você terá o resultado. O passo-a-passo no desenvolvimento das derivadas não será possível. Aproveite e digite no programa todas as funções dadas nesta postagem e compare os resultados. Se o estudo ajudou você, comente em baixo. Bons estudos!

Um comentário sobre “6 exercícios resolvidos sobre regra da potência para derivadas

  1. Bom dia, boa tarde, boa noite, depende da hora em que fore lido o meu comentario, semples to tentando resolver a tabela de dirivada para ver se consigo chegar aos valores tabelados entao gostaria de algumas ajudas quem ja resolveu alguns dessas funcoes pesso que possamos compartilher esse é o meu email. Kirinujuniorikibal@gmail.com. Agradecia a quem estiver disponivel em descutirmos a cerca desse assunto.

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