6 exercícios resolvidos sobre regra da potência para derivadas

Regra da potênciaNeste estudo priorizaremos uma regra bem básica de derivação: a regra da potência. Inicialmente, vamos enfatizar as derivadas de funções cujas potências possuem expoentes inteiros positivos. Como o nosso site é mais voltado para principiantes na área de exatas, os exemplos aqui postados são os mais básicos possíveis. Nossa metodologia de ensino é bem simples e segue a seguinte rotina: ver exemplos de funções, enunciar a regra da derivação, resolver exercícios para fixar o conteúdo e provocar o leitor para solucionar questões bem fáceis. Borrão e lápis nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES

  • f(x) = {x^{11}};
  • f(x) = {x^{3}};
  • f(x) = 2{x^{7}};
  • f(x) = -9{x^{4}};
  • f(x)=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};
  • f(x)=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};
  • f(x)=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.

Se preferirmos, podemos trocar o f(x) das funções acima por y. Observe:

  • y = {x^{11}};
  • y = {x^{3}};
  • y = 2{x^{7}};
  • y = -9x^{4};
  • y=\frac{11}{x^{-3}}=11x^{3};
  • y=-\frac{11}{x^{-10}}=-11x^{10};
  • y=\frac{2}{x^{-2}}=2x^{2}.

Note que, em todos os exemplos dados, as funções possuem expoentes inteiros e positivos. Para derivar funções desse tipo usaremos uma regra bem básica de derivação: a regra da potência.

A REGRA DA POTÊNCIA

“Se f(x) = x^{n}, onde n é um número positivo e x é diferente de zero, então f'(x)=nx^{n-1}.

Nos exercícios propostos nesse estudo explicaremos, na prática, a regra da potência.

NOTAÇÕES DAS DERIVADAS

Nos exemplos desta aula usaremos, para derivar as funções, a notação funcional de Lagrange f'(x) e a notação de Leibniz, a qual usa o seguinte operador diferencial:

\frac{d}{dx}.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Derive as seguintes funções:

  • 1º) f(x)=x^{3}.

Observe que, na função dada, o n equivale ao número positivo 3 e o x da função é diferente de zero.

Por comparação:

f(x)=x^{3}

f'(x)=nx^{n-1}

f'(x)=3x^{3-1}

⇒ Note que a regra define que o expoente n (o número 3) fique na frente do x e, ao mesmo tempo, o mesmo n da função seja subtraído de 1. Matematicamente, dizemos que derivamos a função em relação a x, portanto, na notação de Lagrange temos que

f'(x^{3})=3x^{3-1}=3x^{2}.

⇒ Para calcular essa mesma derivada, usando a notação de Leibniz, basta aplicar o operador diferencial na função f(x) e obteremos o mesmo resultado. Observe:

\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(x^{3})}{dx}=3x^{3-1}=3x^{2}.

Observe que apenas substituímos o f(x) (“f de x“) pela função (x^{3}) no operador diferencial. Note também que, quando aplicamos a regra dada, o d(x) do operador desaparece.

  • 2º) f(x)=x^{10}.

A função acima pode ser escrita como

y=x^{10}.

⇒ Na notação funcional de Lagrange, derivaremos a função com relação a x e aplicaremos a regra da potência:

f'(y)=f'(x^{10})=10x^{10-1}=10x^{9}.

⇒ Na notação de Leibniz, vamos derivar a função com relação a x e obter a mesma resposta:

\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{10})}{dx}=10x^{10-1}=10x^{9}.

  • 3º) Dado a função a=t^{12}, calcule \frac{da}{dt}.

⇒ Derivando a função com relação a t e aplicando a regra da potência, obteremos

f'(a)=f'(t^{12})=12t^{12-1}=12t^{11}.

⇒ Na notação de Leibniz, obteremos

\frac{d(a)}{dt}=\frac{d(t^{12})}{dt}=12t^{12-1}=12t^{11}.

  • 4º) Ache a derivada de f(x)=-\frac{2}{x^{-5}}.

A função possui expoente negativo e pode ser escrita da seguinte maneira:

y=-\frac{2}{x^{-5}}=-2\frac{1}{x^{-5}}=-2x^{5}.

⇒ Derivando-a com respeito a x, aplicando a regra da potência, temos que:

f'(y)=f'(-2x^{5})=-5.2x^{5-1}=-10x^{4}.

⇒ Na notação de Leibniz, obteremos o mesmo resultado:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(-2x^{5})}{dx}=-2\frac{d(x^{5})}{dx}

=-2.5x^{5-1}=-10x^{4}.

Nesta questão aplicamos também, sutilmente, uma outra regra que já foi estudada na postagem intitulada A regra da homogeneidade.

  • 5º) Ache a derivada de f(x)= \frac{11}{x^{-10}}.

A função acima pode ser escrita como:

y =\frac{11}{x^{-10}}=11\frac{1}{x^{-10}}=11x^{10}.

⇒ Derivando-a em relação a  x, aplicando a regra da potência, obteremos

f'(y)=f'(11x^{10})=10.11x^{10-1}=110x^{9}.

⇒ Na notação de Leibniz, obteremos o mesmo resultado:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(11x^{10})}{dx}

=11\frac{d(x^{10})}{dx}=11.10x^{10-1}=110x^{9}.

  • 6º) Ache a derivada de f(x)=41x^{2}.

Já vimos que a função acima pode ser escrita da seguinte maneira:

y=41x^{2}.

⇒ Derivando-a em relação a x, aplicando a regra da potência, temos que:

f'(y)=f'({41x^{2}})=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.

⇒ Aplicando-se o operador diferencial na mesma função, obteremos

\frac{dy}{dx}=\frac{d(41x^{2})}{dx}

=41\frac{d(x^{2})}{dx}=41.2x^{2-1}=82x^{1}=82x.

Portanto,

f'(x) = \frac{dy}{dx}=82x.

SEUS DESAFIOS

Calcule em seu caderno as seguintes derivadas:

1º) f(x)=x^{12};

2º) f(x)=x^{21};

3º) f(x)=-\frac{3}{x^{-9}};

4º) y=\frac{20}{x^{-20}};

5º) y=11x^{8}.

PROGRAMA – CALCULAR DERIVADAS

Após calcular as derivadas acima, execute-as no programa abaixo e compare as respostas.

Veja as maneiras de como digitar no programa algumas funções:

  • f(x) = x^12
  • y = x^15
  • f(x) = -3/{x^9}
  • y = 20/{x^20}

Após digitar a derivada no programa clique em Submit e você terá o resultado. O passo-a-passo no desenvolvimento das derivadas não será possível. Aproveite e digite no programa todas as funções dadas nesta postagem e compare os resultados. Se o estudo ajudou você, comente em baixo. Bons estudos!

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s