Como usar a propriedade da constante em somatórios

SigmaO somatório é um operador matemático que pode representar uma soma, cujo número de parcelas seja finito ou mesmo infinito. É por meio desse operador que podemos representar a adição, em expressões algébricas com grande número de termos, de uma maneira mais fácil e simplificada. O somatório possui grande funcionalidade no cálculo, pois permite a descrição de fórmulas mais compactas e generalizadas. Por isso foi extremamente importante as noções que obtemos sobre a notação sigma ( ∑ ), sua leitura, obtenção de número de parcelas, seus símbolos e partes tais como índice, limite inferior e limite superior → todos esses tópicos foram vistos na aula anterior intitulada Aprenda passo-a passo as regras de somatórios que será, neste estudo, complementada com a exposição de uma propriedade bem básica inerente ao  somatórios: a Propriedade da Constante.

A PROPRIEDADE DA CONSTANTE

Se f é uma função constante (C ) para todos os valores de i , ou seja, se f(1) = C, f(2) = C, f(3) = C, f(n)=C, teremos

\sum_{i=1}^{n}f(i)=C+C+C+...+C.

Não sabemos quantos termos teremos na soma, mas podemos representá-los assim:

\sum_{i=1}^{n}f(i)=C+C+C+...+C=nC.

USANDO A PROPRIEDADE DA CONSTANTE

Para entender melhor essa propriedade, veja o exemplo numérico limitado aos números constantes 10 + 10 + 10 + 10, que pode ser representado por 4 x 10 ou 4.10, pois a parcela 10 ocorre 4 vezes. Se o exemplo fosse dado por muitas parcelas (n parcelas), teríamos 10 + 10 + 10 +…10. Essa soma poderia ser representado da seguinte maneira:

10 + 10 + 10 + …+ 10 = número de termos (n) vezes 10 = n.10.

Baseado neste exemplo, podemos chegar à uma propriedade básica do somatório chamada de Propriedade da Constante:

{\sum\limits_{k = 1}^n C = nC.}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Use a Propriedade da Constante nos somatórios a seguir:

  • 1º) \sum\limits_{k = 1}^3 1

A expressão significa a soma de todos os termos da forma 1 (constante) quando k assume valores inteiros de 1 a 3.

O índice do somatório é a variável k. O valor inicial designado pelo índice k é chamado limite inferior, que no caso é igual a 1. A variável k percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 3.

Usando a Propriedade da Constante

\sum\limits_{k = 1}^n C = n.C,

temos que n = 3 e C = 1, portanto

\sum\limits_{k = 1}^3 1 = 1 + 1 + 1 = 3.1=3.


  • 2º) \sum\limits_{k = 1}^8 10

Usando a Propriedade da Constante

\sum\limits_{k = 1}^n C = n.C,

por comparação temos que n = 8 e C = 10, portanto,

\sum\limits_{k = 1}^8 10 = 10+10+10+10+10+10+10+10 = 8.10=80.


  • 3º) Expresse 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 em forma de somatório.

Essa soma pode ser representada da seguinte maneira:

15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = número de termos (n) vezes 15

= n.15 = 10.15 = 150.

Usando a Propriedade da Constante

\sum\limits_{k = 1}^n C = n.C,

por comparação temos que n = 10 e C = 15, portanto,

\sum\limits_{k=1}^{10}15 =10.15 =150.


Bons estudos

Nesta aula aprendemos sobre a Propriedade da Constante. Esse aprendizado nos proporcionará uma melhor base para enfrentarmos novos desafios nas pesquisas sobre os somatórios e suas outras propriedades. Bons estudos!

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