Aprenda passo-a-passo as regras de somatórios

SigmaAs operações matemáticas com somatórios são muito importantes para a Estatística, Física, Química, etc, por ser uma notação compacta, elegante, por facilitar operações algébricas, indicação e formulação de medidas. No cálculo de várias medidas estatísticas, são utilizadas somas de um grande número de parcelas. Para facilitar a representação destas somas, introduz-se o conceito de somatório.

O matemático Leonhard Euler usou frequentemente séries infinitas em suas pesquisas para desenvolver novos métodos ou para modelar problemas aplicados e  estabeleceu a notação de somatório que usamos hoje, usando sigma, uma letra grega maiúscula,  para o simbolizar a soma.

Leonhard Euler

A NOTAÇÃO SIGMA

Para entendermos o básico sobre regras que envolvem somatórios, precisamos entender um pouco sobre a notação sigma. Vamos, como exemplo, expressar a soma dos 4 primeiros números naturais, sem contar o zero. veja como:

1 + 2 + 3 + 4 .

Se fôssemos determinar seus valores numéricos, teríamos

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Agora, vamos somar tais termos usando uma maneira elegante, compacta, uma notação especial, por meio da letra grega maiúscula \sum{} (que corresponde à nossa letra S) e deve ser lido como “somatório” ou “soma de”. Veja a seguinte representação:

\sum_{k=1}^{4}k.

LEITURA DA NOTAÇÃO SIGMA

Pode-se lê a notação acima de várias maneiras:

  • “Somatório de k, desde k = 1 até 4”;
  • “A soma de todos os termos da forma k quando k assume valores inteiros de 1 (incluindo-o) até 4”;
  • “Somatório de k, com k variando de 1 a 4”;
  • “Soma dos valores de k, para k variando de 1 até 4”.

No exemplo acima, o índice do somatório é a variável k. O valor inicial, designado pelo índice k, é chamado limite inferior que, no caso, é igual a 1. A variável k percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior  n, que no caso é igual a 4.

Portanto, a soma dos nossos 4 números (1 + 2 + 3 + 4) pode ser representada assim:

1+2+3+4=\sum_{k=1}^{4}k.

Percebemos que o k assumiu valores inteiros de 1 até 4 e observamos que um somatório, cujo símbolo é dado por sigma, é um operador matemático que pode representar, de maneira compacta, somas com poucos ou infinitos números.

Obs: qualquer letra do alfabeto poderá indicar o índice de um somatório. Observe as letras k, i e j, nos exemplos abaixo:

\sum\limits_{k = 1}^{100} {2^k } = \sum\limits_{i = 1}^{100} {2^i } = \sum\limits_{j = 1}^{100} {2^j }.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1º) Use a notação sigma para representar a soma dos 8 primeiros números naturais sem o zero (N*).

A soma dos 8 primeiros números naturais é expressa da seguinte maneira:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Agora, vamos representar a expressão acima através de uma maneira compacta, ou seja,  por meio da notação sigma.

  • Primeiro passo: observe o primeiro número (1) e o último número (8) e posicioná-los, respectivamente, como limite inferior e limite superior.
  • Segundo passo: observe a variável i, colocando-a na frente do símbolo sigma, pois é ela que percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior (n = 8). Veja:

\sum\limits_{i = 1}^{8} i .

Note que a variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 8. Portanto, colocar o i na frente do sigma é o mesmo que escrever a soma dos números dados, veja:

1+2+3+4+5+6+7+8=\sum_{i=1}^{8}i.


2º) Codifique por meio de somatório as seguintes somas:

a) 2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}

  • Nesse exemplo, observe primeiramente, nos números que estão variando: o limite inferior da soma é o 2, limite superior da soma é 5, portanto, coloque o 5 acima do símbolo sigma.
  • Observe que os expoentes da soma  não variam. Perceba que a forma da função é dada por k^{2}, portanto, coloque-a na frente do sigma. Note que os expoentes (2) da soma não variaram. Já o k variou de 2 até 5. Portanto, a representação da soma é escrita assim:

\sum_{k=2}^{5}k^{2}.

Leitura: “a soma de todos os termos da forma k^2 quando k assume valores inteiros de 2 (incluindo-o) até 5″ ou “somatório de k^2, desde k = 2 até 5.”

Como achar o número de parcelas de um somatório? Note que a diferença entre o valor de n = 5, indicado no extremo superior, e o valor de k = 2  indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que é o número de parcelas. Dessa forma, esse somatório é constituído de (5 – 2) + 1 = 4 parcelas.


b) 2^{1}+2^{2}+2^{3}+2{^4}

  • Nesse exemplo, os expoentes da soma variam. Observe que o limite inferior da soma é o 1 (expoente do 2 no ínício da soma), portanto, coloque-o abaixo do símbolo sigma.
  • Note que o limite superior da soma é 4 (expoente do 2 no fim da soma), portanto, coloque-o acima do sigma. Observando que os expoentes da soma variam, percebemos que a forma da função é 2^i , coloque-a na frente do sigma. Portanto, a soma pode ser representada por

\sum_{i=1}^{4}2^i.

Leitura: a soma de todos os termos da forma  2^i quando i assume valores inteiros de 1 (incluindo-o) até 4.

c) f(1)+f(2)+f(3)+...f(n)

  • Nesta função, o limite inferior da soma é o 1, portanto, coloque-o abaixo do símbolo sigma.
  • O limite superior da soma é n, portanto, coloque-o acima do símbolo sigma. Observando que o i varia assumindo valores inteiros de 1 ate n, concluímos que a forma da função é dada por f(i) e deve ser colocada na frente do sigma. Portanto, a soma dada é representada por

\sum_{i=1}^{n}f(i).


Obs: se f  é uma função constante (C ) para todos os valores de i , ou seja, se f(1) = C, f(2) = C,  f(3) = C,  f(n)=C, teremos

\sum_{i=1}^{n}f(i)=C+C+C+...+C.

Não sabemos quantos termos teremos, mas podemos representá-los assim:

\sum_{i=1}^{n}f(i)=C+C+C+...+C=nC.

Para entender melhor, veja o exemplo numérico limitado aos números constantes 5 + 5 + 5 + 5, que pode ser representado por 4 X 5 ou 4.5, pois a parcela 5 ocorre 4 vezes. Se o exemplo fosse dado por muitas parcelas (n parcelas), teríamos 5 + 5 + 5 +…5. Mas, como representar essa soma? Assim: 5 + 5 + 5 + 5 + … + 5 = número de termos(n) vezes 5 = n.5.

Baseado neste exemplo, podemos chegar à uma propriedade básica do somatório chamada de propriedade da Constante:

{\sum\limits_{k = 1}^n C = nC.}

Em aulas vindouras exercitaremos mais usando esta propriedade.


3º) Escreva explicitamente  a sequência abaixo:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}.

  • Use esta técnica: o limite inferior da soma é o 1, portanto, nossa primeira parcela será a_{1}, veja abaixo.
  • O limite superior não sabemos, por isso foi representado por n e será colocado na última parcela como a_{n}, veja abaixo:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+---+a_{n}.

Mas, o que preencher nos espaços (---)? Note que a variável i percorre todos os valores inteiros consecutivos, a partir de 1, até alcançar o limite superior n, assim:

a_{2}+a_{3}+a_{4}+...

Portanto, a resposta do problema é:

\sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}.


4º) Represente, usando a notação sigma, a soma dos 100 primeiros números naturais sem o zero (N*).

A expressão fica assim representada:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…97 + 98 + 99 + 100 = 5050.

Agora, vamos representá-la de uma maneira compacta, ou seja,  por meio da notação sigma:

\sum\limits_{i = 1}^{100} i .

Note que a variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 100.

Portanto,

\sum\limits_{i = 1}^{100} i=1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100=5050.

Como aprendemos no exemplo anterior, o subscrito i é uma variável que percorre de 1 até 100. O i representa o índice da soma. O limite inferior da soma é o 1 e o 100 é o limite superior da soma.

Determinando o número de parcelas de somatório: note que a diferença entre o valor de n = 100 (indicado no extremo superior) e o valor de i = 1 (indicado no extremo inferior), acrescida de uma unidade conduz a 100, que é o número de parcelas. Dessa forma, é constituída de (100 – 1) + 1= 100 parcelas.


5º) Represente, usando a notação sigma, a soma dos 1000 primeiros números naturais.

A expressão fica assim representada:

\sum\limits_{i = 1}^{1000} i=1 + 2 + 3 +...+ 999 + 1000 = 500500.

Portanto, a soma fica codificada por

\sum\limits_{i = 1}^{1000} i .


BONS ESTUDOS

Nesta aula aprendemos a reconhecer uma notação sigma, as partes do somatório, achar o número de parcelas do somatório, chegamos à propriedade da constante, aprendemos a lê um somatório e aplicamos diversos exercícios envolvendo a notação sigma. Espero ter ajudado. Bons estudos!

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