As operações matemáticas com somatórios são muito importantes para a Estatística, Física, Química, etc, por ser uma notação compacta, elegante, por facilitar operações algébricas, indicação e formulação de medidas. No cálculo de várias medidas estatísticas, são utilizadas somas de um grande número de parcelas. Para facilitar a representação destas somas, introduz-se o conceito de somatório.
O matemático Leonhard Euler usou frequentemente séries infinitas em suas pesquisas para desenvolver novos métodos ou para modelar problemas aplicados e estabeleceu a notação de somatório que usamos hoje, usando sigma, uma letra grega maiúscula, para o simbolizar a soma.
A NOTAÇÃO SIGMA
Para entendermos o básico sobre regras que envolvem somatórios, precisamos entender um pouco sobre a notação sigma. Vamos, como exemplo, expressar a soma dos 4 primeiros números naturais, sem contar o zero. veja como:
1 + 2 + 3 + 4 .
Se fôssemos determinar seus valores numéricos, teríamos
1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Agora, vamos somar tais termos usando uma maneira elegante, compacta, uma notação especial, por meio da letra grega maiúscula (que corresponde à nossa letra S) e deve ser lido como “somatório” ou “soma de”. Veja a seguinte representação:
Pode-se lê a notação acima de várias maneiras:
- “Somatório de k, desde k = 1 até 4”;
- “A soma de todos os termos da forma k quando k assume valores inteiros de 1 (incluindo-o) até 4”;
- “Somatório de k, com k variando de 1 a 4”;
- “Soma dos valores de k, para k variando de 1 até 4”.
No exemplo acima, o índice do somatório é a variável k. O valor inicial, designado pelo índice k, é chamado limite inferior que, no caso, é igual a 1. A variável k percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 4.
Portanto, a soma dos nossos 4 números (1 + 2 + 3 + 4) pode ser representada assim:
Percebemos que o k assumiu valores inteiros de 1 até 4 e observamos que um somatório, cujo símbolo é dado por sigma, é um operador matemático que pode representar, de maneira compacta, somas com poucos ou infinitos números.
Obs: qualquer letra do alfabeto poderá indicar o índice de um somatório. Observe as letras k, i e j, nos exemplos abaixo:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
A soma dos 8 primeiros números naturais é expressa da seguinte maneira:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.
Agora, vamos representar a expressão acima através de uma maneira compacta, ou seja, por meio da notação sigma.
- Primeiro passo: observe o primeiro número (1) e o último número (8) e posicioná-los, respectivamente, como limite inferior e limite superior.
- Segundo passo: observe a variável i, colocando-a na frente do símbolo sigma, pois é ela que percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior (n = 8). Veja:
Note que a variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 8. Portanto, colocar o i na frente do sigma é o mesmo que escrever a soma dos números dados, veja:
a)
- Nesse exemplo, observe primeiramente, nos números que estão variando: o limite inferior da soma é o 2, limite superior da soma é 5, portanto, coloque o 5 acima do símbolo sigma.
- Observe que os expoentes da soma não variam. Perceba que a forma da função é dada por , portanto, coloque-a na frente do sigma. Note que os expoentes (2) da soma não variaram. Já o k variou de 2 até 5. Portanto, a representação da soma é escrita assim:
Leitura: “a soma de todos os termos da forma quando k assume valores inteiros de 2 (incluindo-o) até 5″ ou “somatório de , desde k = 2 até 5.”
Como achar o número de parcelas de um somatório? Note que a diferença entre o valor de n = 5, indicado no extremo superior, e o valor de k = 2 indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que é o número de parcelas. Dessa forma, esse somatório é constituído de (5 – 2) + 1 = 4 parcelas.
b)
- Nesse exemplo, os expoentes da soma variam. Observe que o limite inferior da soma é o 1 (expoente do 2 no ínício da soma), portanto, coloque-o abaixo do símbolo sigma.
- Note que o limite superior da soma é 4 (expoente do 2 no fim da soma), portanto, coloque-o acima do sigma. Observando que os expoentes da soma variam, percebemos que a forma da função é , coloque-a na frente do sigma. Portanto, a soma pode ser representada por
c)
- Nesta função, o limite inferior da soma é o 1, portanto, coloque-o abaixo do símbolo sigma.
- O limite superior da soma é n, portanto, coloque-o acima do símbolo sigma. Observando que o i varia assumindo valores inteiros de 1 ate n, concluímos que a forma da função é dada por e deve ser colocada na frente do sigma. Portanto, a soma dada é representada por
Obs: se f é uma função constante (C ) para todos os valores de i , ou seja, se f(1) = C, f(2) = C, f(3) = C, f(n)=C, teremos
Não sabemos quantos termos teremos, mas podemos representá-los assim:
Para entender melhor, veja o exemplo numérico limitado aos números constantes 5 + 5 + 5 + 5, que pode ser representado por 4 X 5 ou 4.5, pois a parcela 5 ocorre 4 vezes. Se o exemplo fosse dado por muitas parcelas (n parcelas), teríamos 5 + 5 + 5 +…5. Mas, como representar essa soma? Assim: 5 + 5 + 5 + 5 + … + 5 = número de termos(n) vezes 5 = n.5.
Baseado neste exemplo, podemos chegar à uma propriedade básica do somatório chamada de propriedade da Constante:
Em aulas vindouras exercitaremos mais usando esta propriedade.
- Use esta técnica: o limite inferior da soma é o 1, portanto, nossa primeira parcela será , veja abaixo.
- O limite superior não sabemos, por isso foi representado por n e será colocado na última parcela como , veja abaixo:
Mas, o que preencher nos espaços ? Note que a variável i percorre todos os valores inteiros consecutivos, a partir de 1, até alcançar o limite superior n, assim:
Portanto, a resposta do problema é:
A expressão fica assim representada:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…97 + 98 + 99 + 100 = 5050.
Agora, vamos representá-la de uma maneira compacta, ou seja, por meio da notação sigma:
Note que a variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 100.
Portanto,
Como aprendemos no exemplo anterior, o subscrito i é uma variável que percorre de 1 até 100. O i representa o índice da soma. O limite inferior da soma é o 1 e o 100 é o limite superior da soma.
Determinando o número de parcelas de somatório: note que a diferença entre o valor de n = 100 (indicado no extremo superior) e o valor de i = 1 (indicado no extremo inferior), acrescida de uma unidade conduz a 100, que é o número de parcelas. Dessa forma, é constituída de (100 – 1) + 1= 100 parcelas.
A expressão fica assim representada:
Portanto, a soma fica codificada por
Nesta aula aprendemos a reconhecer uma notação sigma, as partes do somatório, achar o número de parcelas do somatório, chegamos à propriedade da constante, aprendemos a lê um somatório e aplicamos diversos exercícios envolvendo a notação sigma. Espero ter ajudado. Bons estudos!