Aprenda a derivar facilmente uma função

Técnicas de derivaçãoQuando ingressamos na universidade, ao cursar o primeiro período, nos deparamos com uma disciplina muito maravilhosa, chamada Cálculo I. Nesta disciplina o aluno inicia o estudo sobre derivadas e a maioria sente muitas dificuldades em assimilar o conteúdo dado em sala de aula devido a vários motivos, dentre os quais temos: o cansaço devido às suas atividades profissionais, despreparo matemático no nível médio, falta de tempo para estudar o exposto no quadro e a quantidade de assuntos passados em outras disciplinas. Neste estudo, com o propósito de ajudar o aluno principiante, vamos aprender uma técnica bem básica, passo a passo, sobre derivação chamada a regra da homogeneidade. As equações foram escritas no editor Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

A REGRA DA HOMOGENEIDADE

A regra de derivação chamada de regra da homogeneidade nos diz que:

“A derivada de uma constante (k) vezes uma função (u) é a constante (k) vezes a derivada da função (u).”

Ou seja,

\frac{d}{dx}(ku)=k\frac{du}{dx}.

EXEMPLOS DE FUNÇÕES

Abaixo temos alguns exemplos de funções nas quais podemos aplicar a regra da homogeneidade:

  • f(x)=-1x^{3};
  • f(x)=3x^{-5};
  • f(x)=1x^{7};
  • f(x)=-5x^{10};
  • f(x)=-2x^{-4}.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usaremos em todos os exercícios as notações funcionais e a notação de Leibniz, aquela que usa o operador diferencial:

\frac{d}{dx}.

Utilizaremos também a regra da potência:

f'(x)=nx^{n-1}.

Derive as seguintes funções:

  •  a) f(x)=6x^{3}.

Podemos escrever a função dada como: y=6x^3. Note que a constante é k = 6 e a função é u=x^3. Derivando a função em relação a x e aplicando a regra da homogeneidade, temos:

f'(y)=f'(6x^3)=6.f'(x^3).

Aplicando a regra da potência na função acima, temos:

6.f'(x^3)=6.3.x^{3-1}=18x^2.

Obteremos o mesmo resultado se aplicarmos na função o operador diferencial, veja:

\frac{dy}{dx}= \frac{d(6x^3)}{dx} = 6.(3.x^{3-1})= 18x^{2}.


  • b) f(x)=\frac{1}{3}x^4

A função acima pode ser escrita como

y=\frac{1}{3}x^4.

A constante equivale a c=\frac{1}{3} e a função equivale a u=x^4. Usando a notação funcional derivaremos a função em relação a x e aplicar a regra da homogeneidade. Veja:

f'(y)=f'(\frac{1}{3}x^4)=\frac{1}{3}.f'(x^4).

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos:

\frac{1}{3}.f'(x^4)=\frac{1}{3}.4x^{4-1}=\frac{4}{3}x^{3}.

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador diferencial:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(\frac{1}{3}x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.(4.x^{4-1})=\frac{4}{3}x^{3}.


  • c) y=-5x^{10}.

A constante é -5 e a função é u=x^{10}. Usando a notação funcional (de Lagrange) vamos derivar a função com respeito a x e aplicar a regra da homogeneidade, veja:

f'(y)=f'(-5x^{10})=-5.f'(x^{10}).

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos:

-5.f'(x^{10})=-5.10x^{10-1}=-50x^{9}.

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador diferencial, ou seja, na notação de Leibniz temos que:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(-5x^{10})}{dx}=-5.10.x^{10-1}=-50x^{9}.


  • d) f(x)=100x^{1/2}.

A função acima pode ser escrita como

y=100x^{\frac{1}{2}}.

A constante é 100 e a função é u=x^{1/2}. Usando a notação funcional vamos derivar a função em relação a x e aplicar a regra da homogeneidade, veja:

f'(y)=f'(100x^{\frac{1}{2}})=100.f'(x^{\frac{1}{2}}).

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos que:

100.f'(x^{\frac{1}{2}})=100.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}-1}=50x^{-\frac{1}{2}}.

Podemos também escrever o resultado acima como:

50x^{-\frac{1}{2}}=50\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=50\frac{1}{\sqrt[2]{x^{1}}}=\frac{50}{\sqrt{x}}.

Portanto,

f'(100x^{\frac{1}{2}})=\frac{50}{\sqrt{x}}.

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(100x^{1/2})}{dx}=100.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}-1}

=50x^{-\frac{1}{2}}=50\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{50}{\sqrt{x}}.


  • e) f(x)=\frac{1}{3}x^4.

A função acima pode ser escrita como y=\frac{1}{3}x^4. Vamos usar apenas a aplicação do operador diferencial na nossa função. A constante é c=\frac{1}{3} e a função é u=x^4. Derivando-a em relação a x e aplicando a regra da homogeneidade e da potência, temos:

\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(\frac{1}{3}x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.\frac{d(x^4)}{dx}= \frac{1}{3}.(4.x^{4-1})=\frac{4}{3}.x^{3}.


Desafios: resolva as seguintes derivadas:

  • f(x)=-\frac{1}{2}x^7;
  • f(x)=\frac{1}{2}x^7;
  • f(x)=-9x^{9};
  • f(x)=300x^{1/3};
  • f(x)=\frac{1}{5}x^{1/2}.

Bons estudos!

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s